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9 – – – – ·
0 – – – – –
. · – · – · –
, – – · · – –
? · · – – · ·

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班福定律

又称为首位数法则
在自然发生的数据集合里
以各个数字开头的数字占比
满足如下规律
1(30.1%)
2(17.6%)
3(12.5%)
4(9.7%)
5(7.9%)
6(6.7%)
7(5.8%)
8(5.1%)
9(4.6%)

注意:受人为直接限制的数据不满足该法则

了解详情:Benford’s Law

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数学知识点

一、数与代数

1. 数的认识
0 1 2 3 十 百 千 万 亿
实数 有理数 无理数 整数 自然数 余数 倍数 公倍数 最小公倍数 因数 完全数 最大公因数 偶数 奇数 质数 合数
分数 最简分数 小数 有限小数 无限小数 无限循环小数 无限不循环小数 百分数 相反数(2和-2) 近似数 加权平均数 中位数 众数
实数包含有理数和无理数;有理数:有限小数+无限循环小数(整数和分数);无理数:无限不循环小数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示
绝对值:一个数与原点的距离
正数 负数 π约等于3.1415926535898
完全数,又叫完美数:比如6,因数为1,2,3,6,这些因数的关系为1+2+3=6
完全数非常稀少,到2004年,发现40个,较小的有6,28,496,8128等
一个数各位数之和为3的倍数,那这个数就是3的倍数
一个数,如果只有1和它本身两个因数,则这个数称为质数
一个数,如果除了1和它本身外,还有其他的因数,则这个数称为合数
1 2 4 是 8和12 公有的因数,叫做他们的公因数,其中4为最大公因数
12 24 36 是4 和 6 公有的倍数,叫做他们的公倍数,其中12为最小公倍数
把单位1分成若干份,其中一份叫分数单位。比如,3/5的分数单位为1/5
真分数:分子比分母小,真分数小于1
假分数:分子比分母大,或相等的,假分数大于等于1
带分数:由整数和真分数合成的数,比如2又5分之1
一个最简分数的分母分解质因数后,只有2和5两个质因数,则可以转化为有限小数
一个最简分数的分母分解质因数后,包含2和5以外的其他质因数,则不能转化为有限小数,是无限小数
中位数:从小到大排列,奇数个数时中间的数字,偶数个数时中间两个数的平均数
众数:一组数据中出现次数最多的数据

2. 数的运算
加 减 乘 除
进位加 不进位加 退位减 不退位减
四则运算 先乘除,后加减,先括号内,后括号外
加法交换律 A+B=B+A
加法结合律 (A+B)+C=A+(B+C)
乘法交换律 A*B=B*A
乘法结合律(A*B)*C=A*(B*C)
乘法分配率(A+B)*C=A*B+A*C
小数的末尾加上0或去掉0,小数的大小不变
小数点的移动,会引起大小的变化
小数的近似数,四舍五入法
把两个异分母分数转化为和原来相等的同分母分数,叫做通分
把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分
分子分母的公约数只有1时,这样的分数,叫最简分数
分解质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的分解质因数
乘积为1的两个数,互为倒数
比较:大小,高低,长短
使用计算器,探索运算规律,比如如下规律
6*0.7=4.2
6.6*6.7=44.22
6.66*66.7=444.222
6.666*666.7=4444.2222
为什么不能除以0?
从算数角度来说,“除法”是源于“乘法”的,或者说是“乘法”的逆向运算,比如:12除以6等于2,反过来,6乘以2等于12。但如果12除以0可以等于一个特定的数字的话,那么反过来,这个数字乘以0就等于12。这是说不通的,因为任何数字乘以0都等于0。
两数相乘/相除,同号得正,异号得负
除以一个不为0的数,等于乘以这个数的倒数
n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫幂
当aⁿ看作a的n次乘方的结果时,也可读作“a的n次幂”或“a的n次方”。其中a叫底数,n叫指数
如果一个正数x的平方等于a,那么x叫做的a的算术平方根或平方根或次方根
如果一个数x的立方等于a,那么x叫做的a的立方根或三次方根
求一个数的平方根的运算,叫做开平方
求一个数的立方根的运算,叫做开立方
10^(-5)=0.00001
有理数运算规则:
a. 先乘方,再乘除,最后加减
b. 同级运算,从左到右进行
c. 如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。

3. 式与方程
用字母表示数
整式,单项式和多项式的统称。
单项式,数或字母的积,比如-2a,其中的数字因数叫系数(-2)
多项式,几个单项式的和。其中每个单项式叫多项式的项;不含字母的项叫常数项;次数最高项的次数叫做多项式的次数;相同字母的指数也相同的项叫同类项。
合并同类项,将多项式中的同类项合并为一项。
方程:含有未知数的等式
一元一次方程
二元一次方程组
三元一次方程组
等式两边加减同一个数,左右两边仍然相等
等式两边乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等
分数的分子分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变
消元(将未知数由多化少的过程),加减消元法,代入消元法
不等式,不等式组,
使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
一个不等式所有的解,组成了不等式的解集。
求不等式解集的过程,叫解不等式
如果a>b,则a+c>b+c, a-c>b-c
如果a>b, c>0,则ac>bc, a/c>b/c
如果a>b, c<0,则ac4. 比和比例
比,如8:7
比例,如8:7=24:21,其中8 21为外项,7 24为内项
在比例中,两个外项的积等于两个内项的积
y/x=k 其中k是一定的,那么x和y成正比例关系
x*y=k 其中k是一定的,那么x和y成反比例关系
比例尺:一幅图的图上距离和实际距离的比值

二、图形与几何

1. 图形的认识
点线面体
平面:三角形,长方形,正方形,菱形,圆形,扇形,平行四边形,梯形,多边形,轴对称图形
立体:长方体,正方体,圆柱体,圆锥体 球,
三角形:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,等边三角形,等腰三角形
三角形具有稳定性
三角形任意两边之和大于第三边
三角形内角之和等于180度
角:锐角,钝角,直角,平角,周角
线:直线,线段,射线
线的关系:平行,相交,垂直
角的平分线
∠AOB
两个角的和为90度,那么这俩个角互为余角
两个角的和为180度,那么这俩个角互为补角
如果两个角有一个公共边OC,然后另外一边互为反向延长线,那么这两个角互为邻补角
如果两个角有一个公共的顶点,然后一角两边是另一角两边的反向延长线,那么这两个角互为对顶角
一条线和另一条线垂直,那么一条线叫做另一条的垂线。两条线的交点叫垂足。
垂线段最短。
同位角,内错角,同旁内角
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行
同位角相等,两直线平行。内错角相等,两直线平行。同旁内角互补,两直线平行。
判断一件事的语句叫命题,包含题设和结论。
题设成立,结论一定成立的叫做真命题。
题设成立,不能保证结论一定成立的叫做假命题。
经过推理证实的真命题叫做定理
命题的正确性需要推理,推理的过程叫证明。
证明一个命题为假命题,只要举出一个反例即可。
三角形两边之和大于第三边,两边只差小于第三边。
三角形某一边上的中线,高
三角形的重心为三条中线的交点
三角形某一角的角平分线
三角形具有稳定性
直角三角形的两个锐角互余
三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和
多边形两个不相邻顶点间的线段叫做多边形的对角线
各条边都相等的多边形叫正多边形
任意一个四边形的内角和为360度
n变形的内角和为(n-2)*180度
多边形的外角和为360度
能够完全重合的两个图形叫做全等形,如果图形为三角形,则称为全等三角形
全等三角形重合的顶点叫对应顶点
全等三角形重合的边叫对应边
全等三角形重合的角叫对应角
三边分别相等的两个三角形全等(SSS)
两边和夹角相等的两个三角形全等(SAS)
两角和夹边相等的两个三角形全等(ASA)
两角和一角对边相等的两个三角形全等(AAS)
斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等
角平分线上的点到两边的距离相等
角的内部到两边距离相等的点在角平分线上
如果一个图形沿着一条线折叠,直线两边的图形可以重合,那么这个图形叫轴对称图形,这条线叫做对称轴,折叠后重合的点叫做对称点
垂直平分线,经过线段中点且与线段垂直的线
线段垂直平分线上点与线段两个端点的距离相等
与线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);
顶角平分线,底边中线,底边高相互重合
如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角对应边也相等(等角对等边)
勾股定理:如果,直角三角形,那么c^2=a^2+b^2
勾股定理的逆定理:如果,c^2=a^2+b^2,那么直角三角形
if平行四边形,then对边相等,对角相等,对角线互相平分。反之也成立
相似图形
相似三角形
位似图形:两个图形不仅相似,且对应顶点连线相交于一点。该点叫位似中心

2. 图形的测量
长度
1米=10分米=100厘米=1000毫米
圆的周长=πd=2πr (注释:d直径,r半径)
面积
长方形面积=长*宽
平行四边形面积=底*高
三角形面积=底*高/2
梯形面积=(底+顶)高/2
圆的面积=π*r²
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
1亩=667平方米
表面积
两点之间,线段最短
体积
长方体体积=长*宽*高=底面积*高
圆柱体体积=底面积*高
圆锥体体积=1/3*底面积*高
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
箱子,油桶等所能容纳的体积,通常叫容积
重量
1吨=1000千克=1000000克

1周角=360度,1平角=180度,1度=60分,1分=60秒
直角三角形中,角A的正弦,sinA=∠A的对边/斜边;
直角三角形中,角A的余弦,cosA=∠A的邻边/斜边;
直角三角形中,角A的正切,tanA=∠A的对边/邻边;
角A的正弦,余弦,正切叫做角A的锐角三角函数
解直角三角形

3. 图形的位置与运动
位置:上下前后左右,第几位,顺序,镜像,东南西北(上北下南左西右东),数对
运动:平移,旋转,变形
数对表示位置,比如数对(2,3)代表第二列,第三行的位置
三视图:正视图,侧视图,俯视图
有顺序的两个数组成的数对,叫做有序数对
平面直角坐标系,横轴,纵轴,原点,坐标,象限
经纬度
旋转,旋转中心,旋转角,对应点
一个图形绕一个点旋转可以和另一个图形重叠,那么这两个图形中心对称,那个点叫对称中心(简称中心)
中心对称图形
圆,弦,弧,圆心角,圆周角,直径,半径,
等圆,
一条弧对应的圆周角是圆形角的一半
同弧或等弧对应的圆周角相等
圆内接多边形,多边形的外接圆
圆内接四边形对角互补
不在同一条直线上的三个点,确定一个圆
三角形的外接圆的圆心,叫做三角形的外心
三角形的内切圆的圆心,叫做三角形的内心
圆与直线的关系:相交(割线),相切(切线),相离
正多边形,中心,中心角,边心距,半径
弧长=nπr/360
扇形的面积=nπr^2/360
圆锥的母线,顶点连接底面圆周上的任一点
光照物体得到的影子,叫做物体的投影
平行光线形成的投影,叫做平行投影
点光源发出的光线形成的投影,叫做中心投影
投影线垂直于投影面的投影,叫做正投影
从某一个方向看一个物体,所看到的平面图形叫做物体的一个视图

三、统计与概率

1. 统计
表格统计
条形统计图
复式条形统计图
折线统计图
扇形统计图
数据收集,整理,描述
全面调查,抽样调查
每个个体都有相等机会被抽到的调查,叫做随机抽样调查
直方图,宽和高都有意义,面积表示频数
条形图,高表示频数

2. 概率
可能性,分类,排列,组合,比较,优化
优化:完成同样的事用时最短
时间: 年 月 日 钟表 时针 分针 秒针 1小时=60分钟=3600秒
随机事件
列举法求概率
频率估计概率

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贝叶斯定理

后验概率=先验概率*调整系数

先验概率(男友出轨的初始概率预测)
x=4%

新事件:衣柜发现神秘内衣
在男友出轨的情况下,内衣出现的概率
y=50%
在男友未出轨的情况下,内衣出现的概率
z=5%

后验概率(在你发现内衣的情况下,修正对男友出轨的预测值)
xy/[xy+z(1-x)]=29%