非线性关系的回归分析
把相关关系当因果关系的回归分析
自变量受因变量影响的回归分析
自变量之间高度相关的回归分析
遗漏重要自变量的回归分析
无关自变量太多的回归分析

500位选民
53%投给共和党
45%投给民主党
还有2%投给独立党派
那么共和党的百分比的标准误差
是√￣(P*(1-P)/n)
即√￣(0.53*0.47/500)
约等于0.02
那么可以得出结论
68%的概率共和党获得的支持率为
53%±2%（51%〜55%）
68%的概率民主党获得的支持率为
45%±2%（43%~47%）
也可以得出
95%的概率共和党获得的支持率为
53%±4%（49%〜57%）
95%的概率民主党获得的支持率为
45%±4%（41%~49%）
但两个置信区间有重叠(49%)
意味着存在两党打平的可能
如果要排除这种可能
则需要组织更大型的民意测验

一个正确抽样的样本
与其所代表的群体
存在相似关系
不同的样本之间会有差异
但样本与整体出现巨大差异的概率是较低的
样本数量只要足够多（不小于30）
样本平均值会围绕整体平均值呈现正太分布
所以如果知道整体的标准差和平均值
就可以计算出样本标准误差
样本标准误差=整体标准差/(√￣样本数量)
同时可计算样本实际误差
样本实际误差=|样本平均值-整体平均值|
通过比较样本标准误差和样本实际误差
便可判断该样本是不是属于整体
如实际误差超过标准误差的三倍
样本就基本不属于那个整体

有一个掷骰子游戏
掷出1点可以获得1块钱
掷出2点可以获得2块钱
掷出3点可以获得3块钱
以此类推
那么在这个游戏中
掷一次骰子的期望值就是
1/6(1)+1/6(2)+1/6(3)+1/6(4)+1/6(5)+1/6(6)
等于3.5块
这样用3.5跟掷一次骰子的费用比较
就可以知道多次玩下来的风险大小

相关系数
用来描述两个对象之间的相关程度
值的范围从负1到正1
负1为负相关最大值
正1为正相关最大值
0为毫不相关
计算过程为两个对象
各个数据的标准值对应相乘
然后再相加汇总
之后再求平均
即为相关系数
其中标准值是
这个数据减去该组数据平均值
然后除以该组数据的标准差

方差和标准差
用来测量和描述各个数值
距离它们的平均值的距离远近
计算方差的公式如下
开平方就是标准差
σ^2=[(X1 – μ)^2+(X2 – μ)^2+(X3 – μ)^2+ …… +(Xn – μ)^2]/n

切比雪夫大数定理
样本越多
其平均数
越接近总体平均数

伯努利大数定律
样本足够大时
事件A出现的概率
接近总体实际上A出现的概率

辛钦大数定律
独立测量次数越多
其算术平均数
越接近实际真值

A · –
B – · · ·
C – · – ·
D – · ·
E ·
F · · – ·
G – – ·
H · · ·
I · ·
J · – – –
K – · –
L · – · ·
M – –
N – ·
O – – –
P · – – ·
Q – – · –
R · – ·
S · · ·
T –
U · · –
V · · · –
W · – –
X – · · –
Y – · – –
Z – – · ·
1 · – – – –
2 · · – – –
3 · · · – –
4 · · · · –
5 · · · · ·
6 – · · · ·
7 – – · · ·
8 – – – · ·
9 – – – – ·
0 – – – – –
. · – · – · –
, – – · · – –
? · · – – · ·

又称为首位数法则
在自然发生的数据集合里
以各个数字开头的数字占比
满足如下规律
1（30.1%）
2（17.6%）
3（12.5%）
4（9.7%）
5（7.9%）
6（6.7%）
7（5.8%）
8（5.1%）
9（4.6%）

注意：受人为直接限制的数据不满足该法则

了解详情：Benford’s Law

一、数与代数

1. 数的认识
0 1 2 3 十 百 千 万 亿
实数 有理数 无理数 整数 自然数 余数 倍数 公倍数 最小公倍数 因数 完全数 最大公因数 偶数 奇数 质数 合数
分数 最简分数 小数 有限小数 无限小数 无限循环小数 无限不循环小数 百分数 相反数(2和-2) 近似数 加权平均数 中位数 众数
实数包含有理数和无理数；有理数：有限小数+无限循环小数(整数和分数)；无理数：无限不循环小数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示
绝对值：一个数与原点的距离
正数 负数 π约等于3.1415926535898
完全数，又叫完美数：比如6，因数为1，2，3，6，这些因数的关系为1+2+3=6
完全数非常稀少，到2004年，发现40个，较小的有6，28，496，8128等
一个数各位数之和为3的倍数，那这个数就是3的倍数
一个数，如果只有1和它本身两个因数，则这个数称为质数
一个数，如果除了1和它本身外，还有其他的因数，则这个数称为合数
1 2 4 是 8和12 公有的因数，叫做他们的公因数，其中4为最大公因数
12 24 36 是4 和 6 公有的倍数，叫做他们的公倍数，其中12为最小公倍数
把单位1分成若干份，其中一份叫分数单位。比如，3/5的分数单位为1/5
真分数：分子比分母小，真分数小于1
假分数：分子比分母大，或相等的，假分数大于等于1
带分数：由整数和真分数合成的数，比如2又5分之1
一个最简分数的分母分解质因数后，只有2和5两个质因数，则可以转化为有限小数
一个最简分数的分母分解质因数后，包含2和5以外的其他质因数，则不能转化为有限小数，是无限小数
中位数：从小到大排列，奇数个数时中间的数字，偶数个数时中间两个数的平均数
众数：一组数据中出现次数最多的数据

2. 数的运算
加 减 乘 除
进位加 不进位加 退位减 不退位减
四则运算 先乘除，后加减，先括号内，后括号外
加法交换律 A+B=B+A
加法结合律 (A+B)+C=A+(B+C)
乘法交换律 A*B=B*A
乘法结合律(A*B)*C=A*(B*C)
乘法分配率（A+B）*C=A*B+A*C
小数的末尾加上0或去掉0，小数的大小不变
小数点的移动，会引起大小的变化
小数的近似数，四舍五入法
把两个异分母分数转化为和原来相等的同分母分数，叫做通分
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分
分子分母的公约数只有1时，这样的分数，叫最简分数
分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数
乘积为1的两个数，互为倒数
比较：大小，高低，长短
使用计算器，探索运算规律，比如如下规律
6*0.7=4.2
6.6*6.7=44.22
6.66*66.7=444.222
6.666*666.7=4444.2222
为什么不能除以0？
从算数角度来说，“除法”是源于“乘法”的，或者说是“乘法”的逆向运算，比如：12除以6等于2，反过来，6乘以2等于12。但如果12除以0可以等于一个特定的数字的话，那么反过来，这个数字乘以0就等于12。这是说不通的，因为任何数字乘以0都等于0。
两数相乘/相除，同号得正，异号得负
除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数
n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫幂
当aⁿ看作a的n次乘方的结果时，也可读作“a的n次幂”或“a的n次方”。其中a叫底数，n叫指数
如果一个正数x的平方等于a，那么x叫做的a的算术平方根或平方根或次方根
如果一个数x的立方等于a，那么x叫做的a的立方根或三次方根
求一个数的平方根的运算，叫做开平方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方
10^(-5)=0.00001
有理数运算规则：
a. 先乘方，再乘除，最后加减
b. 同级运算，从左到右进行
c. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

3. 式与方程
用字母表示数
整式，单项式和多项式的统称。
单项式，数或字母的积，比如-2a，其中的数字因数叫系数（-2）
多项式，几个单项式的和。其中每个单项式叫多项式的项；不含字母的项叫常数项；次数最高项的次数叫做多项式的次数；相同字母的指数也相同的项叫同类项。
合并同类项，将多项式中的同类项合并为一项。
方程：含有未知数的等式
一元一次方程
二元一次方程组
三元一次方程组
等式两边加减同一个数，左右两边仍然相等
等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等
分数的分子分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变
消元（将未知数由多化少的过程），加减消元法，代入消元法
不等式，不等式组，
使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
一个不等式所有的解，组成了不等式的解集。
求不等式解集的过程，叫解不等式
如果a>b,则a+c>b+c, a-c>b-c
如果a>b, c>0,则ac>bc, a/c>b/c
如果a>b, c<0,则ac4. 比和比例
比，如8:7
比例，如8:7=24:21，其中8 21为外项，7 24为内项
在比例中，两个外项的积等于两个内项的积
y/x=k 其中k是一定的，那么x和y成正比例关系
x*y=k 其中k是一定的，那么x和y成反比例关系
比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比值

二、图形与几何

1. 图形的认识
点线面体
平面：三角形，长方形，正方形，菱形，圆形，扇形，平行四边形，梯形，多边形，轴对称图形
立体：长方体，正方体，圆柱体，圆锥体 球，
三角形：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，等边三角形，等腰三角形
三角形具有稳定性
三角形任意两边之和大于第三边
三角形内角之和等于180度
角：锐角，钝角，直角，平角，周角
线：直线，线段，射线
线的关系：平行，相交，垂直
角的平分线
∠AOB
两个角的和为90度，那么这俩个角互为余角
两个角的和为180度，那么这俩个角互为补角
如果两个角有一个公共边OC，然后另外一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角
如果两个角有一个公共的顶点，然后一角两边是另一角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角
一条线和另一条线垂直，那么一条线叫做另一条的垂线。两条线的交点叫垂足。
垂线段最短。
同位角，内错角，同旁内角
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行
同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。
判断一件事的语句叫命题，包含题设和结论。
题设成立，结论一定成立的叫做真命题。
题设成立，不能保证结论一定成立的叫做假命题。
经过推理证实的真命题叫做定理
命题的正确性需要推理，推理的过程叫证明。
证明一个命题为假命题，只要举出一个反例即可。
三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。
三角形某一边上的中线，高
三角形的重心为三条中线的交点
三角形某一角的角平分线
三角形具有稳定性
直角三角形的两个锐角互余
三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和
多边形两个不相邻顶点间的线段叫做多边形的对角线
各条边都相等的多边形叫正多边形
任意一个四边形的内角和为360度
n变形的内角和为(n-2)*180度
多边形的外角和为360度
能够完全重合的两个图形叫做全等形，如果图形为三角形，则称为全等三角形
全等三角形重合的顶点叫对应顶点
全等三角形重合的边叫对应边
全等三角形重合的角叫对应角
三边分别相等的两个三角形全等（SSS）
两边和夹角相等的两个三角形全等（SAS）
两角和夹边相等的两个三角形全等（ASA）
两角和一角对边相等的两个三角形全等（AAS）
斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等
角平分线上的点到两边的距离相等
角的内部到两边距离相等的点在角平分线上
如果一个图形沿着一条线折叠，直线两边的图形可以重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点
垂直平分线，经过线段中点且与线段垂直的线
线段垂直平分线上点与线段两个端点的距离相等
与线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；
顶角平分线，底边中线，底边高相互重合
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角对应边也相等（等角对等边）
勾股定理：如果，直角三角形，那么c^2=a^2+b^2
勾股定理的逆定理：如果，c^2=a^2+b^2，那么直角三角形
if平行四边形，then对边相等，对角相等，对角线互相平分。反之也成立
相似图形
相似三角形
位似图形：两个图形不仅相似，且对应顶点连线相交于一点。该点叫位似中心

2. 图形的测量
长度
1米=10分米=100厘米=1000毫米
圆的周长=πd=2πr （注释：d直径，r半径）
面积
长方形面积=长*宽
平行四边形面积=底*高
三角形面积=底*高/2
梯形面积=（底+顶）高/2
圆的面积=π*r²
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
1亩=667平方米
表面积
两点之间，线段最短
体积
长方体体积=长*宽*高=底面积*高
圆柱体体积=底面积*高
圆锥体体积=1/3*底面积*高
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
箱子，油桶等所能容纳的体积，通常叫容积
重量
1吨=1000千克=1000000克
角
1周角=360度，1平角=180度，1度=60分，1分=60秒
直角三角形中，角A的正弦，sinA=∠A的对边/斜边；
直角三角形中，角A的余弦，cosA=∠A的邻边/斜边；
直角三角形中，角A的正切，tanA=∠A的对边/邻边；
角A的正弦，余弦，正切叫做角A的锐角三角函数
解直角三角形

3. 图形的位置与运动
位置：上下前后左右，第几位，顺序，镜像，东南西北（上北下南左西右东），数对
运动：平移，旋转，变形
数对表示位置，比如数对(2,3)代表第二列，第三行的位置
三视图：正视图，侧视图，俯视图
有顺序的两个数组成的数对，叫做有序数对
平面直角坐标系，横轴，纵轴，原点，坐标，象限
经纬度
旋转，旋转中心，旋转角，对应点
一个图形绕一个点旋转可以和另一个图形重叠，那么这两个图形中心对称，那个点叫对称中心（简称中心）
中心对称图形
圆，弦，弧，圆心角，圆周角，直径，半径，
等圆，
一条弧对应的圆周角是圆形角的一半
同弧或等弧对应的圆周角相等
圆内接多边形，多边形的外接圆
圆内接四边形对角互补
不在同一条直线上的三个点，确定一个圆
三角形的外接圆的圆心，叫做三角形的外心
三角形的内切圆的圆心，叫做三角形的内心
圆与直线的关系：相交（割线），相切（切线），相离
正多边形，中心，中心角，边心距，半径
弧长=nπr/360
扇形的面积=nπr^2/360
圆锥的母线，顶点连接底面圆周上的任一点
光照物体得到的影子，叫做物体的投影
平行光线形成的投影，叫做平行投影
点光源发出的光线形成的投影，叫做中心投影
投影线垂直于投影面的投影，叫做正投影
从某一个方向看一个物体，所看到的平面图形叫做物体的一个视图

三、统计与概率

1. 统计
表格统计
条形统计图
复式条形统计图
折线统计图
扇形统计图
数据收集，整理，描述
全面调查，抽样调查
每个个体都有相等机会被抽到的调查，叫做随机抽样调查
直方图，宽和高都有意义，面积表示频数
条形图，高表示频数

2. 概率
可能性，分类，排列，组合，比较，优化
优化：完成同样的事用时最短
时间: 年 月 日 钟表 时针 分针 秒针 1小时=60分钟=3600秒
随机事件
列举法求概率
频率估计概率